| Lezione |
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| 1 |
28/09/11 |
Insiemi - Notazioni, unione, intersezione, differenza,
cardinalità, insieme delle parti, prodotto cartesiano |
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28/09/11 |
Funzioni tra insiemi. Iniettività, surgettività,
funzione inversa, immagine e controimmagine di un insieme |
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| 3 |
29/09/11 |
Principio di induzione. Applicazione alla somma dei
termini di progressioni aritmetiche e geometriche |
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| 4 |
29/09/11 |
Esempi di disuguaglianze dimostrate per induzione.
Disuguaglianza di Bernoulli. |
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| 5 |
30/09/11 |
Numeri reali: proprietà algebriche, ordinamento,
assioma di continuità. Maggioranti, minoranti, massimo, minimo. |
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30/09/11 |
Estremo inferiore e superiore: definizioni,
caratterizzazioni, esempi |
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30/09/11 |
Interpretazione di iniettività e surgettività in
termini di grafico. Operazioni sui grafici di funzioni reali. |
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01/10/11 |
Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone.
Iniettività ed equazioni. Monotonia e disequazioni. |
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01/10/11 |
Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali,
logaritmi, seno, coseno, tangente |
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| 10 |
01/10/11 |
Funzioni trigonometriche inverse. Interpretazione di
immagine e controimmagine in termini di grafico ed esercizi relativi. |
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| 11 |
05/10/11 |
Proprietà vere definitivamente e frequentemente.
Definizione di successione e sue visualizzazioni. Definizioni di
limite per successioni. |
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| 12 |
05/10/11 |
Esempi di limiti di successioni calcolati usando la
definizione. Teoremi di permanenza del segno ed unicità del limite.
Teorema del confronto e dei carabinieri. Retta reale estesa. |
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06/10/11 |
Fattoriali, binomiali e loro significato combinatorio.
Anagrammi di una parola. Proprietà dei binomiali. Binomio di Newton. |
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06/10/11 |
Teoremi algebrici per i limiti di successioni. Esempi
di limiti calcolati usando teoremi algebrici e di confronto. |
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| 15 |
07/10/11 |
Criteri della radice, del rapporto e rapporto ->
radice. Dimostrazione del criterio della radice. Limite della radice
n-esima di costanti, polinomi e di n! |
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07/10/11 |
Esempi di applicazione dei criteri del rapporto e
della radice. Confronti tra ordini di infinito di potenze,
esponenziali, fattoriali |
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| 17 |
07/10/11 |
Esercizi misti sui limiti di successioni utilizzando i
criteri visti finora. Esercizi su proprietà di simmetria delle
funzioni. |
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08/10/11 |
Limiti di funzioni: definizioni |
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| 19 |
08/10/11 |
Funzioni continue. Elenco dei limiti di notevoli.
Cambio di variabili nei limiti. Esempi di limiti calcolati utilizzando
limiti notevoli. |
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08/10/11 |
Criterio funzioni -> successioni. Trucco di passaggio
all'esponenziale. Esempi di limiti di funzioni e successioni calcolati
mediante limiti notevoli. |
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| 21 |
12/10/11 |
Discussione delle disuguaglianze sin x <= x <= tan x.
Dimostrazione dei principali limiti notevoli. Cambio di variabili per
spostare i limiti a 0 oppure + infinito. |
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| 22 |
12/10/11 |
Sottosuccessioni e loro utilizzo per dimostrare la non
esistenza di limiti di successioni e funzioni |
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| 23 |
13/10/11 |
Successioni monotone e relativo teorema di esistenza
del limite. Il numero e (la successione che lo definisce è monotona e
compresa tra 2 e 3). |
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| 24 |
13/10/11 |
Esercizi misti sui limiti che sfruttano le tecniche
viste fino a questo momento |
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| 25 |
14/10/11 |
Definizione di o piccolo e sue proprietà |
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| 26 |
14/10/11 |
Sviluppini e loro utilizzo per il calcolo di limiti |
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| 27 |
14/10/11 |
Equivalenza asintotica. Esempi di limiti calcalati
usando le tecniche viste finora. |
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| 28 |
15/10/11 |
Definizione di rapporto incrementale e di derivata.
Significato geometrico. Retta tangente. Relazioni tra derivabilità e
continuità. |
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| 29 |
15/10/11 |
Derivate di alcune funzioni elementari dimostrate
mediante la definizione. Regole di derivazione. |
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| 30 |
15/10/11 |
Derivata della funzione inversa. Derivata della
composizione. Esempi di calcolo di derivate. |
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| 31 |
19/10/11 |
Teorema di De L'Hopital. Esempi in cui si può e non si
può applicare. Pericoli dei "limiti metà per volta" e dell'equivalenza
asintotica. |
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| 32 |
19/10/11 |
Funzioni iperboliche |
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| 33 |
20/10/11 |
Formula di Taylor con resto di Peano: enunciato, idea
della dimostrazione, esempi di applicazione |
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| 34 |
20/10/11 |
Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Sviluppi
di Taylor di somma, differenza, prodotto. |
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| 35 |
21/10/11 |
Sviluppi di Taylor di funzioni composte |
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| 36 |
21/10/11 |
Cautele nel calcolo di polinomi di Taylor di funzioni
composte. Esempi di limiti calcolati utilizzando i polinomi di Taylor. |
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| 37 |
21/10/11 |
Formula di Taylor con centro in un punto diverso
dall'origine. Esercizi riassuntivi sui limiti. |
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| 38 |
22/10/11 |
Definizione di serie come limite delle somme parziali.
Condizione necessaria e proprietà algebriche. Serie geometriche. |
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| 39 |
22/10/11 |
Serie telescopiche. Comportamento delle serie a
termini di segno costante. Enunciato dei criteri della radice, del
rapporto, del confronto, del confronto asintotico (caso standard).
Serie armoniche generalizzate. |
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| 40 |
22/10/11 |
Esercizi sulla convergenza di serie a termini positivi
(non negativi) |
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| 41 |
26/10/11 |
Dimostrazione dei criteri per serie a termini
positivi. Casi limite di confronto asintotico ed esempi di
applicazione. |
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| 42 |
26/10/11 |
Serie a termini di segno qualunque: enunciato del
criterio di Leibnitz e dell'assoluta convergenza ed esempi di
applicazione |
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| 43 |
27/10/11 |
Dimostrazione dei criteri di Leibnitz e dell'assoluta
convergenza. Serie di potenze: notazioni, raggio di convergenza e
formula per calcolarlo. |
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| 44 |
27/10/11 |
Serie di potenze: dimostrazione della formula per il
calcolo del raggio di convergenza. Serie di Taylor e loro utilizzo per
il calcolo della somma di speciali serie numeriche. |
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| 45 |
28/10/11 |
Teorema di esistenza degli zeri e dei valori
intermedi. Esempi di applicazione. |
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| 46 |
28/10/11 |
Studio locale di funzioni e criterio delle derivate
successive per lo studio dell'andamento di una funzione nell'intorno
di un punto stazionario |
Missing... |
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| 47 |
29/10/11 |
Teorema di Weierstrass e sue varianti. Ricerca
operativa dei punti di max e di min. |
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| 48 |
29/10/11 |
Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange |
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| 49 |
29/10/11 |
Dimostrazione del caso 0/0 del teorema di De L'Hopital.
Legami tra segno della derivata in un intervallo e monotonia di una
funzione. |
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| 50 |
02/11/11 |
Esercizi misti su serie parametriche |
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| 51 |
02/11/11 |
Esercizi misti su successioni, serie, polinomi di
Taylor, studio locale di funzioni |
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| 52 |
03/11/11 |
Primo esempio di studio globale di funzioni. Asintoti
e loro equazioni. |
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| 53 |
03/11/11 |
Esempi di studio di funzioni |
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| 54 |
04/11/11 |
Formula di Taylor con resto di Lagrange e applicazioni
(calcolo approssimato di funzioni, dimostrazione di disuguaglianze) |
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| 55 |
04/11/11 |
Convessità e legami con il segno della derivata
seconda. Disuguaglianze classiche. |
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| 56 |
04/11/11 |
Lipschitzianità e legami con la derivata prima |
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| 57 |
05/11/11 |
Introduzione alle successioni per ricorrenza:
nomenclatura e primo esempio di piano con la monotonia |
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| 58 |
05/11/11 |
Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza
studiati mediante piani con la monotonia. |
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| 59 |
05/11/11 |
Interpretazione grafica delle successioni per
ricorrenza. Esempi studiati mediante la distanza dal presunto limite. |
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| 60 |
09/11/11 |
Esercizi misti sullo studio di funzioni |
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| 61 |
09/11/11 |
Esercizi misti sullo studio di funzioni |
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| 62 |
10/11/11 |
Successioni per ricorrenza spiraleggianti: studio
mediante la distanza dal presunto limite e mediante le
sottosuccessioni dei pari e dei dispari |
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| 63 |
10/11/11 |
Ulteriori esempi di studio di successioni per
ricorrenza autonome |
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| 64 |
11/11/11 |
Successioni per ricorrenza non autonome: piani con la
monotonia, con il rapporto, con limitatezza + carabinieri |
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| 65 |
11/11/11 |
Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza non
autonome |
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| 66 |
11/11/11 |
Ulteriori esempi di successioni per ricorrenza non
autonome |
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| 67 |
12/11/11 |
Introduzione agli integrali: notazioni, significato
geometrico, definizione mediante somme di Riemann superiori e
inferiori |
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| 68 |
12/11/11 |
Esempi di utilizzo delle somme di Riemann,
integrabilità delle funzioni monotone, proprietà degli integrali,
esempi di integrali calcolati mediante considerazioni geometriche |
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| 69 |
12/11/11 |
Teoria generale per il calcolo operativo di integrali:
primitive, funzione integrale, teorema della media integrale, teorema
fondamentale del calcolo integrale |
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| 70 |
16/11/11 |
Due esercizi di ricapitolazione su studio di funzioni
e successioni per ricorrenza |
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| 71 |
16/11/11 |
Discorso sul +c negli integrali indefiniti. Primi
esempi di primitive elementari. |
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| 72 |
17/11/11 |
Integrazione per parti e primi esempi di applicazione.
"Grande ritorno". |
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| 73 |
17/11/11 |
Trucco dell'"1 nascosto" e ulteriori esempi di
applicazione dell'integrazione per parti |
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| 74 |
18/11/11 |
Integrazione per sostituzione e primi esempi di
applicazione |
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| 75 |
18/11/11 |
Ulteriori esempi di integrazione per sostituzione |
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| 76 |
18/11/11 |
Esempi di integrali (anche con valori assoluti)
calcolati utilizzando le tecniche viste finora |
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| 77 |
19/11/11 |
Integrazione delle funzioni razionali - Parte prima |
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| 78 |
19/11/11 |
Integrazione delle funzioni razionali - Parte seconda |
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| 79 |
19/11/11 |
Primi esempi di sostituzioni razionalizzanti:
esponenziali, seni e coseni, radici di espressioni di primo grado |
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| 80 |
23/11/11 |
Sostituzioni razionalizzanti per primitive di radici
di polinomi di secondo grado |
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| 81 |
23/11/11 |
Sostituzioni razionali per sin x e cos x mediante
formule parametriche. Esempi di ricapitolazione sul calcolo di
integrali. |
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| 82 |
24/11/11 |
Integrali impropri: definizioni nei casi monoproblema
e spezzamento di un integrale generale in integrali monoproblema. |
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| 83 |
24/11/11 |
Studio degli integrali impropri di 1/x^a con problemi
a 0 e +infinito al variare del parametro a. Discussione sulla "non
compensazione" tra integrali impropri divergenti. |
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| 84 |
25/11/11 |
Studio di integrali impropri con integrande di segno
costante: criterio del confronto e del confronto asintotico |
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| 85 |
25/11/11 |
Casi limite di confronto asintotico. Criterio
dell'assoluta integrabilità per integrande a segno variabile.
Integrali impropri con problemi in punti diversi dall'origine. |
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| 86 |
25/11/11 |
Esempi di studio della convergenza di integrali
impropri utilizzando i vari criteri |
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| 87 |
26/11/11 |
Trucco dell'integrazione per parti per integrali
impropri oscillanti (tipo sin x/x, cos(x^2), sin(x^2) tra 0 e
infinito). Primo esempio di "metodo dei triangolini"" |
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| 88 |
26/11/11 |
Ulteriore esempio di "metodo dei triangolini".
Confronto serie-integrali e dimostrazione della convergenza/divergenza
delle serie armoniche generalizzate. |
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| 89 |
26/11/11 |
Teoremi di scambio serie-derivata per serie di
potenze. Utilizzo del teorema di scambio per il calcolo della somma di
serie di potenze. |
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| 90 |
30/11/11 |
Introduzione alle equazioni differenziali:
nomenclatura |
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| 91 |
30/11/11 |
Introduzione alle equazioni differenziali: il problema
di Cauchy, enunciato dei teoremi di esistenza ed unicità |
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| 92 |
01/12/11 |
Metodo risolutivo per equazioni differenziali a
variabili separabili. Studio della soluzione: intervallo massimale di
esistenza, tempo di vita, esistenza globale, blow-up, break-down |
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| 93 |
01/12/11 |
Ulteriori esempi di studio di equazioni differenziali
a variabili separabili |
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| 94 |
02/12/11 |
Numeri complessi: forma cartesiana, parte reale e
immaginaria, piano di Gauss, operazioni algebriche, coniugato, modulo |
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| 95 |
02/12/11 |
Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica ed
esponenziale di un numero complesso. Interpretazione di modulo,
coniugato, prodotto, reciproco, quoziente in forma trigonometrica. |
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| 96 |
02/12/11 |
Potenze e radici n-esime di numeri complessi |
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| 97 |
03/12/11 |
Teoria generale delle equazioni differenziali lineari,
omogenee e non omogenee |
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| 98 |
03/12/11 |
Equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti: base dello spazio delle soluzioni nel caso omogeneo e
ricerca per tentativi di una soluzione nel caso non omogeneo |
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| 99 |
03/12/11 |
Equazioni differenziali lineari non omogenee: esempi
di ricerca per tentativi di una soluzione |
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| 100 |
07/12/11 |
Esercizi su potenze e radici n-esime di numeri
complessi |
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| 101 |
07/12/11 |
Esercizi su potenze e radici n-esime di numeri
complessi. Fattorizzazione di polinomi sui complessi. |
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| 102 |
14/12/11 |
Teorema fondamentale dell'algebra. Fattorizzazione di
polinomi a coefficienti reali "accoppiando" le radici complesse
coniugate |
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| 103 |
14/12/11 |
Funzioni trascendenti di numeri complessi:
esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche, funzioni
iperboliche |
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| 104 |
15/12/11 |
Metodo di variazione delle costanti per equazioni
differenziali lineari non omogenee |
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| 105 |
15/12/11 |
Equazioni differenziali lineari del prim'ordine:
formula risolutiva. |
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| 106 |
16/12/11 |
Due esempi di studio di equazioni differenziali con
parametri (valori soglia, oscillazioni smorzate) |
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| 107 |
16/12/11 |
Esempi di studio di equazioni differenziali con
parametri (oscillazioni smorzate). Esempio di studio qualitativo di
un'equazione differenziale (senza risolverla esplicitamente). |
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| 108 |
16/12/11 |
Esercizi misti sui numeri complessi |
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| 109 |
17/12/11 |
O grande. Esempi di esercizi "mondo reale" che
conducono a stimare la somma di serie. |
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| 110 |
17/12/11 |
Esercizi misti presi da test e scritti d'esame |
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| 111 |
17/12/11 |
Esercizi misti basati su funzioni integrali |
avi |
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